الاحتمال الهندسي هو فرع من الرياضيات يتعامل مع أطوال الخطوط ومحتوى المساحات وأحجام الأجسام في الفضاء متعدد الأبعاد. يعتمد على المفاهيم الأساسية للنظرية الاحتمالية مثل النقاط العشوائية والمساحات العشوائية والمتغيرات العشوائية.
نماذج النقاط العشوائية
نموذج النقاط العشوائية هو مجموعة من النقاط المنتشرة عشوائيًا في فضاء معين. يمكن استخدامها لنمذجة مجموعة متنوعة من الظواهر، مثل توزيع الأشجار في الغابة أو مواقع النجوم في المجرة.
تستخدم نماذج النقاط العشوائية على نطاق واسع في مجالات مثل علم الأحياء والجيولوجيا وعلم الفلك لنمذجة وتحليل أنماط التوزيع المكاني.
مساحات عشوائية
المساحة العشوائية هي مجموعة من النقاط التي يتم تحديدها عشوائيًا بموجب تدبير احتمالي معين. يمكن استخدامها لنمذجة مجموعة متنوعة من الظواهر، مثل توزيع الكتلة في الكون أو توزيع درجات الحرارة في سائل.
تستخدم المساحات العشوائية على نطاق واسع في مجالات مثل الفيزياء والكيمياء وعلوم البيئة لنمذجة وتحليل الظواهر العشوائية في الأنظمة المعقدة.
متغيرات عشوائية هندسية
المتغير العشوائي الهندسي هو دالة من المساحة الاحتمالية إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. يمكن استخدامه لنمذجة مجموعة واسعة من الظواهر، مثل طول الخط العشوائي أو حجم الجسم العشوائي.
هناك أنواع مختلفة من المتغيرات العشوائية الهندسية، بما في ذلك المتغيرات المستمرة والمتقطعة. لكل نوع من هذه الأنواع توزيع احتمالي فريد يصف سلوك المتغير العشوائي.
تستخدم المتغيرات العشوائية الهندسية على نطاق واسع في مجالات مثل الإحصاء والتمويل والهندسة لنمذجة وتحليل الظواهر العشوائية في الأنظمة المعقدة.
التوزيعات الاحتمالية الهندسية
التوزيع الاحتمالي الهندسي هو دالة تصف توزيع المتغير العشوائي. يمكن استخدامه لنمذجة مجموعة واسعة من الظواهر، مثل توزيع أطوال الخطوط العشوائية أو أحجام الأجسام العشوائية.
هناك أنواع مختلفة من التوزيعات الاحتمالية الهندسية، بما في ذلك التوزيع الطبيعي والتوزيع الأسّي والتوزيع الثنائي. لكل نوع من هذه الأنواع خصائصه الفريدة التي تجعله مناسبًا لنمذجة أنواع مختلفة من الظواهر العشوائية.
التوقعات والتباين والتغاير
التوقع والتباين والتغاير هي ثلاث خصائص أساسية للتوزيعات الاحتمالية. التوقع هو متوسط المتغير العشوائي، والتباين هو قياس لتشتت المتغير العشوائي حول متوسطه، والتغاير هو قياس للارتباط بين متغيرين عشوائيين.
التطبيقات في المجالات المختلفة
للأحتمال الهندسي مجموعة واسعة من التطبيقات في مجالات مختلفة، بما في ذلك:
- علم الأحياء: نمذجة توزيع الكائنات الحية في النظام البيئي.
- الجيولوجيا: نمذجة توزيع المعادن في منجم.
- علم الفلك: نمذجة توزيع النجوم في المجرة.
- الفيزياء: نمذجة توزيع الجسيمات في غاز.
- الكيمياء: نمذجة توزيع الجزيئات في سائل.
- علوم البيئة: نمذجة توزيع الملوثات في البيئة.
- التمويل: نمذجة توزيع أسعار الأسهم.
- الهندسة: نمذجة توزيع الإجهاد في مادة.
