إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين.
الإجابة الصحيحة هي : -٣٢.
إذا كان: ناتج الضرب الداخلي للمتجهين
في الرياضيات، يعتبر الضرب الداخلي للمتجهين عملية أساسية تستخدم لتحديد زاوية بينهما أو حساب طول الإسقاط. ويُعرف الضرب الداخلي أيضًا باسم “الحاصل القياسي” أو “الناقل النقطي”. وفي هذه المقالة، سنتعمق في مفهوم الضرب الداخلي للمتجهين، بما في ذلك خصائصه وتطبيقاته في مجالات مختلفة.
تعريف الضرب الداخلي
الضرب الداخلي للمتجهين هو عملية جبرية تجمع متجهين لإنتاج قيمة عددية تُعرف باسم “الحاصل القياسي”. ويرمز للضرب الداخلي بالرمز (⋅)، ويتم حسابه بضرب كل عنصر من عناصر أحد المتجهين في العنصر المقابل من المتجه الآخر، ثم جمع النواتج. على سبيل المثال، إذا كان لدينا متجهان a = (a1, a2) و b = (b1, b2)، فإن الضرب الداخلي لهما يكون:
“`
a · b = a1b1 + a2b2
“`
خصائص الضرب الداخلي
يمتلك الضرب الداخلي العديد من الخصائص المهمة التي تجعله أداة قوية في الرياضيات:
التوزيعية: a · (b + c) = a · b + a · c
التبديلية: a · b = b · a
التشاركية: (a · b) · c = a · (b · c)
الإيجابية: a · a ≥ 0، مع تساوي الصفر فقط عندما يكون a = 0
الهوية: a · a = |a|²
حساب زاوية بين المتجهين
أحد التطبيقات المهمة للضرب الداخلي هو حساب زاوية بين متجهين. ويتم تحديد ذلك من خلال الصيغة التالية:
“`
cos θ = (a · b) / (|a| |b|)
“`
حيث θ هي الزاوية بين المتجهين a و b، و|a| و|b| هما قيم المتجهين.
حساب طول الإسقاط
تُستخدم حاصل الضرب الداخلي أيضًا لحساب طول الإسقاط لمتجه على آخر. ويُعرف طول الإسقاط بالصيغة التالية:
“`
|projₐb| = |a| cos θ = (a · b) / |a|
“`
حيث |projₐb| هو طول الإسقاط لمتجه b على متجه a.
تطبيقات الضرب الداخلي
تُستخدم حاصل الضرب الداخلي في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:
الجبر الخطي: تحديد مصفوفة متماثلة، وحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
التحليل الرياضي: حساب التكاملات، وحل المعادلات التفاضلية
الفيزياء: حساب العمل المنجز بواسطة القوة، وتحديد مجال الطاقة
الرسومات الحاسوبية: إنشاء تأثيرات إضاءة واقعية
التعلم الآلي: تصنيف البيانات، والمعالجة الطبيعية للغة
الضرب الداخلي للمتجهين هو مفهوم أساسي في الرياضيات مع مجموعة واسعة من التطبيقات. وتُستخدم خصائصه المتعددة لحساب زاوية بين المتجهين، وطول إسقاط، وما إلى ذلك. ويُعد الضرب الداخلي أداة قوية في مجالات مختلفة، بما في ذلك الجبر الخطي والتحليل الرياضي والفيزياء وعلوم الكمبيوتر.